Harry M. Markowitz


Portfolio-Theorie nach Markowitz

Hintergrund zur Depotanalyse nach Markowitz


Harry M. Markowitz
Harry M. Markowitz (Foto links) wurde für seine Portfolio-Theorie 1990 mit dem Nobelpreis ausgezeichnet. Seine Arbeiten beweisen, dass durch die optimale Streuung von Risiken (auch Diversifikation genannt) wesentlich höhere Renditen bei geringen Risiko erzielt werden können. Professionelle Fondsmanager greifen auf die Markowitz´sche Portfolio-Theorie zurück, um diesen Effekt für langfristige Erfolge bei der Geldanlage zu nutzen.

Im Zentrum der Theorie steht der Zusammenhang zwischen Risiko und Rendite. Ziel eines jeden Anleger ist es, eine hohe Rendite bei möglichst geringem Risiko zu erlangen. Gerade aber Anlageprodukte mit hohen Renditechancen beinhalten ein hohes Risiko. Eine Aktie kann z. B. wesentlich mehr Ertrag im selben Zeitraum erwirtschaften als eine Anleihe. Diese höhere Gewinnchance muss sich ein Investor allerdings mit dem Eingehen eines höheren Risikos "erkaufen".

Der Zusammenhang zwischen Renditeerwartung und Risiko einer Anlage wird im Risiko / Performance-Diagramm dargestellt. Die Performance ist auf der senkrechten, das Risiko auf der waagrechten Achse der Grafik eingetragen. Das bedeutet: je weiter links, desto risikoärmer ist die Anlage, je weiter oben, desto höher sind die Performance-Chancen. Der Begriff "Performance" meint damit die Renditechance. Der Begriff "Risiko" (auch Volatilität genannt) beschreibt mathematisch die Verlustrisiken einer Geldanlage. Das Risiko eines Anlageproduktes lässt sich an den Kursschwankungen erkennen. Wie in den nachfolgenden Abbildungen zu sehen ist, besitzt der Kursverlauf einer Aktie ein höheres Risiko als derjenige einer Anleihe.


Abb. 1a Abb. 1b


Abb. 1a, Abb. 1b: Eine Anleihe X, die im Risiko / Performance-Diagramm etwas so lokalisiert ist wie in der Abbildung links, hat in der Regel einen ähnlichen Kursverlauf wie hier rechts dargestellt.


Abb. 2a Abb. 2b


Abb. 2a, Abb. 2b: Eine Aktie Y, die im Risiko / Performance-Diagramm etwas so lokalisiert ist wie in der Abbildung links, hat in der Regel dagegen eher einen Kursverlauf wie hier rechts dargestellt.

Die Portfolio-Optimierung errechnet, wie verschiedene Anlageprodukte mit unterschiedlichen Risiken so miteinander zu kombinieren sind, dass das Depot insgesamt bei möglichst geringem Risiko eine möglichst hohe Rendite erzielt.

Betrachten wir zur Erläuterung einen vorsichtigen Anleger, der zu 100 % in einer konservativen Chemie-Aktie A investiert hat. Er fühlt sich gut beraten, stellt Chemie doch eine der risikoärmsten Branchen dar.

Sollte dieser Anleger in die risikoreiche Telekommunikations-Aktie B investieren?
Auf den ersten Blick neigt man dazu, ihm davon abzuraten, da die Technologie-Branche eine der riskantesten darstellt.

Analysieren wir die Situation aus Sicht der Portfolio-Theorie von Markowitz: Ein Depot P, das aus den beiden Anlageprodukten Aktie A und Aktie B besteht, fasst die unterschiedlichen Risiken und Renditeerwartungen zusammen. Das Depot P lässt sich, wie oben die einzelnen Anlageprodukte, in Hinblick auf Risiko und Performance analysieren.

Das nachfolgende Risiko / Performance-Diagramm zeigt, dass die Aktie B exzellent für unseren vorsichtigen Anleger geeignet ist. Zwar ist Aktie A isoliert risikoärmer als Aktie B, jedoch zeigt die Analyse, dass Depot P, bestehend aus 77% Aktien A und 23% Aktien B, noch mal deutlich risikoärmer als ein reines Depot bestehend aus Aktie A ist. Damit sind wir bei der zentralen Entdeckung von Markowitz: Ein risikoarmes Depot kann durch die Hinzunahme eines geeigneten risikoreichen Wertpapiers noch risikoärmer werden.

In unserem konkreten Beispiel liegt das daran, dass der Kurs des Technologiewertes B anders auf fundamentale äußere Einflüsse (z. B. Ölpreis, Zins etc.) reagiert als der Kurs des Chemiewertes A. Deshalb erlaubt die passende Mischung der beiden Werte eine Glättung der Kursschwankungen.


Abb. 3a Abb. 3b

Abb. 3c


Abb. 3a - 3c: Im Risiko / Performance-Diagramm (Abb. 3a) wird deutlich, dass das Depot P bestehend aus 77% Aktie A und 23% Aktie B geringeren Kursschwankungen unterliegt, als die Einzelanlagen A und B (Abb. 3b bzw. 3c). Die schwarze Linie in Abb. 3a beschreibt alle möglichen Depots bestehend aus Werten A und B. Das Depot P ist von allen möglichen Depots das risikoärmste.

Was bisher beispielhaft anhand der zwei Aktien A und B beschrieben wurde, spielt sich in der Realität mit mehreren Anlageprodukten ab. Je nachdem, welchen prozentualen Anteil am Gesamtbesitz die einzelnen Wertpapiere ausmachen, sind theoretisch eine Vielzahl verschiedener Depots denkbar. Je nach Gewichtung der Wertpapiere im Depot verändern sich Risiko und Performance des gesamten Depots.

Welches der möglichen Depots sollte nun ein Anleger wählen?
Die Menge aller möglichen Depots wird im Risiko / Performance-Diagramm von einer oberen Grenze eingeschlossen (siehe untenstehende Abbildung). Diese obere Grenze nennt man Effizienzkurve. Ein Depot, das auf der Effizienzkurve liegt, nennt man effizent. Effizente Depots haben bei einem bestimmten Risiko die höchsten Performanceerwartungen, oder umgekehrt, bei einer bestimmten Performance das kleinste Risiko. Es existiert dann kein anderes Depot, das bei einem bestimmten Risiko mehr Performancechancen bietet, oder umgekehrt: kein Depot, das bei mindestens gleichen Performancechancen weniger Risiko birgt.


Abb. 4a Abb. 4b


Abb. 4a: Nicht-effiziente Depots mit unterschiedlicher Gewichtung der einzelnen enthaltenen Wertpapiere; Abb. 4b: Durch Umschichtung der Anteile der jeweiligen Wertpapiere wird das Depot effizient.

Ziel jedes Investors sollte es deshalb sein, sein Depot so zusammenzustellen, dass es effizent ist und somit auf der Effizenzkurve liegt.

Im folgenden werden wir das Depot analysieren und so umschichten, dass es effizient ist und eine gute Sharpe-Ratio besitzt.

Die Sharpe-Ratio vergleicht die Rendite eines Wertpapiers mit den eingegangenen Risiken. Eine positive Sharpe-Ratio bedeutet, dass das Wertpapier eine Rendite erwirtschaftet hat, die die sichere Verzinsung risikofreier Anlagen (wie z. B. das Sparbuch) deutlich übertrifft. Also haben sich die eingegangenen Risiken bezahlt gemacht.


Analyse

Die Risiko / Performance-Analyse des Analysedepots ergab die folgenden Kennzahlen, die das historische Profil des Analysedepots darstellen:

Analysedepot (TIC 2000)
Performance in %
Risiko in %
Sharpe-Ratio
+ 15,57
+ 27,21
+ 0,45


Wie das Analyse-Depot im Vergleich zum DAX30 und zur NEMAX50 steht, ist im folgenden Risiko / Performance-Diagramm dargestellt.

Analyse-Depot

Analyse-Depot im Vergleich

Die Analyse zeigt, dass das Analysedepot im Vergleich zur allgemeinen Entwicklung im Markt risikoarm ist.

** Bitte beachten Sie:
- Analyse und Optimierung beruhen auf den Kursdaten vom 15.03.2002
- Die Performance basiert auf dem logarithmischen James-Stein-Schätzverfahren, welches mit Hilfe der historischen Werte eine 12-Monats-Prognose rechnet. Diese Prognose stellt selbstverständlich keine Garantie für die tatsächliche zukünftige Entwicklung des jeweiligen Wertpapiers dar.


Optimierung

Ziel der Portfolie-Optimierung ist es, die Werte Ihres Analysedepots so miteinander zu kombinieren, dass das Depot insgesamt bei möglichst geringem Risiko eine möglichst hohe Rendite erzielt.

Das optimale Depot - also das beste Verhältnis von Risiko und Performance - wird über die Sharpe-Ratio ermittelt. Bitte beachten Sie, dass die Optimierung auf Basis der historischen Renditen durchgeführt wurde.


Optimiertes-Depot



Portfolio-Selection-Theorie


Die moderne Portfoliotheorie basiert auf der Grundannahme, dass Anlageentscheidungen nicht allein aufgrund der monovariablen Zielvorstellung Rendite erfolgen sondern jeder rational handelnder Investor auch das Risiko einer Anlage berücksichtigt und sich somit zusätzlich übernommenes Risiko vergüten läßt. Beide VariablenRendite und Risiko – bilden die Grundlage für die Performance einer Anlage. Als dritte Variable gilt im Allgemeinen die Liquidität der Anlage, diese fließt jedoch mangels Messbarkeit nicht mit in die Portfoliotheorie ein.

Als Rendite wird die Relation des Erfolges der Anlage zum eingesetztem Kapital aufgefaßt.


Mit dieser Berechnungsdarstellung sind Verluste auf 100% des eingesetzten Kapitals begrenzt, Gewinne dagegen können theoretisch auch unendlich groß sein. Eine so erfaßte Renditeverteilung ist tendenziell rechtsschief. Damit bietet es sich an, Rendite vor der weiteren Betrachtung zu logartithmieren.


Damit wird gewährleistet, dass Kursverluste von einem Wert und Kursgewinne zurück auf den Ausgangswert gleich groß sind. Die Summe von logaritmierten Renditen sind gleich dem Logarithmus aus dem Produkt dieser Renditen.


Als Zielvariable für die Entscheidung kann die zukünftig erwartete Rendite gelten. Sie kann zum einen ermittelt werden, indem für verschiedene Umweltszenarien mögliche Renditen mit ihren Eintrittswahrscheinlichkeiten erfaßt werden. Andererseits kann die Grundgesamtheit vergangener Renditedaten dazu genutzt werden, den Renditemittelwert zu bilden.


Wobei stets gilt, dass die Summe aller Ereigniswahrscheinlichkeiten eins beträgt und somit sämtliche mögliche Umweltszenarien berücksichtigt werden.


Als Risiko kann die Abweichung der Ereignisse von der Erwartung verstanden werden. Zur Messung des Ausmaßes dieser Abweichung wird die statistische Maßzahl der Varianz herangezogen. Damit wird die durchschnittliche quadratische Abweichung tatsächlich möglicher Renditen von dem Erwartungswert oder dem einem Mittelwert gemessen.


Für die Berechnung der Portfoliovarianz muß der Gleichlauf zweier Anlageobjekte i und j untereinander in Form der Kovarianzen COVij berücksichtigt werden.


Die Kovarianz ist eine absolute Kennzahl für den Gleichlauf zweier Aktien. Zur besseren Vergleichbarkeit erscheint es angebracht, den Gleichlauf zweier Anlageobjekte mit dem Korrelationskoeffizienten r ij zu beschreiben. Der Bereich ist auf den Bereich von –1 bis +1 begrenzt und standardisiert.


Die Portfoliovarianz ergibt sich deshalb wie folgt:


Da die Kovarianz einer Anlage mit sich selbst gleich der Varianz dieser Anlage ist und die Kovarianzmatrix zudem symmetrisch ist, läßt sich die Gleichung auch noch wie folgt formulieren.


Diese Berechnungsvorschrift ist für die numerische Lösung mittels Algorithmus vorzuziehen, da weniger Rechenschritte zur Lösung notwendig sind. Zudem läßt sich anhand der Gleichung der Diversifikationseffekt sehr leicht demonstrieren. Betrachtet man ein Portfolio, in dem n verschiedene Anlageobjekte zu gleichen Teilen aufgenommen wurden, x demnach 1/n beträgt so wird:


Für die Betrachtung von n Anlageobjekten existieren (n*(n-1)/2) Kovarianzen. Damit kann eine durchschnittliche Kovarianz aller möglichen Kovarianzen gebildet werden.


Dann gilt:


Es zeigt sich also, dass das Risiko einer Anlage aus einem titelspezifischen, diversifizierbaren Anteil und aus einem nichtdiversifizierbaren, marktabhängigen Risikoteil zusammengesetzt ist, denn der Term (n-1)/n strebt mit zunehmend großem n gegen 1. Selbst die theoretisch denkbare Aufnahme unendlich vieler Anlageobjekte in das Portfolio kann das Risiko nicht vollständig eliminieren, sofern die durchschnittliche Kovarianz aller Anlageobjekte größer ist als null.



GRUNDLAGEN DER INVESTITIONSANALYSE

Traditionelle Investitionsbewertung:
Wie soll ein bestimmter Kapitalbetrag in einzelne Investmentmöglichkeiten aufgeteilt werden, damit die Investition einen höchstmöglichen Ertrag generiert ? Grundlage ist eine Auswahl von Investitionsinstrumenten, zum Beispiel Festgelder, Anleihen, Aktien und Fonds. Die Renditebestimmung und damit die Auswahl der Instrumente erfolgt mit Hilfe von Berechnungen von Renditen oder Erträgen der Papiere nach den üblichen Formeln der Investitionsrechnung.

Kritik an der traditionellen Investitionsanalyse ist, dass der Anleger nur eine isolierte Betrachtung einzelner Papiere verfolgt, der Erfolg der Auswahl wird nur durch eine "monovariable Zielfunktion" Rendite beschrieben. Weitere Ziele des Investors (Sicherheit des Investments) werden nicht berücksichtigt, die Struktur der gesamten Assets bleibt unberücksichtigt Wechselwirkungen zwischen den verschiedenen Assets werden nicht berücksichtigt.



PORTFOLIO SELECTION NACH HENRY MARKOWITZ

Entwicklung der Portfoliotheorie:
Markowitz veröffentlichte 1952 sein Modell zur Portfolio Selection und gab damit den Anstoß zur modernen Portfoliotheorie. Kerngedanke dieser Modelle ist die Berücksichtigung der zwei Dimensionen Rendite und Risiko bei der Auswahl von Investments. Wie soll ein Investment unter Berücksichtigung der Zusammenhänge zwischen den Assets vorgenommen werden. Im Portfolio Selection Modell von Markowitz steht nicht mehr das einzelne Papier mit seiner isolierten betrachtung der Rendite, sondern auch das Risiko des Investments im Mittelpunkt der Anlageentscheidung.


Kernaussagen des Portfolio Selection Modell
Maßgeblich für ein Portfolio sind die Größen erwartete Rendite und erwartetes Risiko. Mischung mehrerer Papiere in einem Portfolio ist aus Gründen der Risikoreduktion sinnvoll. Am effizientesten sind Portfolios, bei denen es bei gleicher Rendite zu keinem geringerem Risiko kommt oder bei dem es bei gleichem Risiko keine höhere Rendite gibt. Wichtig ist bei einem Portfolio die Höhe des Gleichlaufs (Korrelation) der einzelnen Wertpapiere.


Portfolio Selection Model
Erwartete Rendite, ist die Summe der gewichteten erwarteten Einzelrenditen Erwartete Risiko ist die Streuung der im Einzelnen erwarteten Renditen um den gemessenen Mittelwert. Dafür wird die Varianz oder Standardabweichung berechnet Varianz oder Standardabweichung ist nur dazu geeignet die Streuungsberechnung für einzelne Papiere durchzuführen. Bei größeren Portfolios ist es notwendig statistische Zusammenhänge zwischen Risiken der Papiere mit zu bedenken. Deshab setzt man bei großen Portfolios den Wert für die Kovarianz (COV) ein. Sie ist ein Ausdruck des Gleichlaufs zweier Größen. Aus den Überlegungen zu Risiko und Rendite kann auch noch ein weiterer Zusammenhang gewonnen werden. Bei Zusammenstellung eines Portfolios kann durch die Zunahme der Anzahl der Papiere ein sogenannter Diversifikationseffekt erzielt werden. Das Portfoliorisiko sinkt ab, unterschreitet jedoch nie einen gewissen Bodensatz an Risiko. Durch Diversifokation lässt sich somit das Risiko eines Portfolios vermindern, aber nicht eliminieren.


Systematisierung von Risiken
Unsystematische Risiken sind einzelwirtschaftlich und titelspezifische - "specific risk" es betrifft nur ein einzelnes Investment : Konkursrisiko, Projektrisiko es kann durch Streuung (Diversifikation) in einem Portfolio verringert und sogar ausgeschaltet werden. Systematisches Risiko betrifft alle Investments einer bestimmten Gruppe gleichermaßen, es wird deshalb oft als Marktrisiko bezeichnet, denn ein Teil der Kursschwankungen kann immer auf gemeinsame Ursachen zurückgegührt werden, zB. Zinsänderunge, Infaltion, Wahlen, Steuern es kann durch Diversifikation nicht ausgeschaltet werden. Wie die optimale Aufteilung des Kapitals erfolgt, beschreibt eine Entscheidungsregel. Die Regel besagt, dass Anleger ihre Entscheidung auf Basis des Erwartungswertes der Renditen in ihrer Streuung treffen und risikoscheu sind - Nutzenkurve (Risiko, Rendite)

Portfolio Selection Model bei zwei risikobehaftete Wertpapieren Dem Modell der Portfolio Selection liegen als Ausgangsdaten zwei risikobehaftete Wertpapiere, jeweils mit ihren Daten für die Verteilung der erwareteten Wertpapierrenditen und damit auch der Standardabweichung vor. Im Falle vollständig positiv korrelierender Renditen erkennt man, dass die Diversifikation nicht zu einer Verringerung des Risikos führt. Bei völlig unkorrelireten Renditen ergibt sich eine typische Effizienzkurve, die im unteren Teilstück jedoch suboptimal ist. Liegt eine vollständig negative Korrelation vor, kommt es im Portfolio zu maximalen Diversifikationseffekten und der vollständigen Eliminiereung des Portfoliorisikos.


Zusammenfassung
Traditionell wurden Aktienportfolios von Anlegern durch isoliert Analyse einzelner Werte und Berücksichtigung der monovariablen Zielgröße der Rendite zusammengestellt. Die Rendite wird als Verhältnis des erwirtschafteten Gewinns zum eingesetzten Kapital unter Berücksichtigung zwischenzeitlich erflgter Zins- oder Dividendenzahlungen ermittelt. Bei der Ermittlung der Rendite als einfache Rendite werden diese Zuflüsse als am Ende der Periode zugeflossen betrachtet.

Das Risiko einer Anlage besteht darin, dass tatsächlich eingetretene Renditen von den erwarteten Renditen abweichen kann. Es beschreibt somit die Wahrscheinlichkeit und das Ausmaß einer einer Abweichung von den Renditenerwartungswert. Das Risiko läßt sich trennen als marktabhängigem Risiko (systematisches Risiko) und dem wertpapierspezifischem Risiko (unsystematischen Risiko). Dieses unsystematische Risiko kann durch Diversifikation zum Teil oder sogar ganz eliminiert werden. Das Risiko kann durch Streuungsmaße, wie die Varianz oder Standardabweichung dargestellt werden.

Bei der Portfolio-Selection-Theorie wird neben der erwarteten Rendite auch das Risiko mit einbezogen. Die erwartete Portfoliorendite bildet sich aus der Summe der gewichteten Einzelrenditen. Das Portfolio-Risiko wird neben den Einzelrenditen jedoch auch durch die Kovarianzen zwischen den einzelnen Wertpapieren bestimmt.

Unter bestimmten Prämissen, wie die Normalverteilung der Renditen und die Risikoaversion des Anlegers, dargestellt durch konkave Nutzensfunktionen, können unter allen Wertpapierkombinationen die effizientesten als Effizienzmarktlinie dargestellt werden. Ein Portfolio gilt dann als effizient, wenn bei gegebener Rendite kein anderes Portfolio existiert, dass ein geringeres Risiko aufweist, oder wenn bei gegebenen Risiko kein anderes Portfolio existiert, dass keine höhere Rendite bringt. Unter allen möglichen effizienten Portfolios kann der Anleger ein solches wählen, dass seinem eigenen Chance-Risiko-Profil entspricht.

Die Kapitalmarkttheorie beruht auf der Portfoliotheorie, geht jedoch von der zusätzlichen Prämisse aus, dass homogene Erwartungen der Anleger bezüglich Risiko und Rendite existieren. Damit wird impliziert, dass es am Kapitalmarkt keine unterschiedlichen Informationsverarbeitungsfähigkeiten gibt und alle Anleger den gleichen Informationszugriff haben. Die Wertpapierpreise reflektieren sofort alle verfügbaren Informationen. Die Kapitalmarkttheorei mündet in das Capital Asset Pricing Model (CAPM).

Die schwache Kapitalmarkteffizienz beschreibt, dass alle vergangenen Informationen in den Preisen berücksichtigt sind. Daraus folgt, dass sich aus der Analyse vergangener Kursdaten, wie durch die technsiche Chartanalyse, keine Informationsvorsprüng ergeben. Die mittel-strenge Kapitalmarkteffizient besagt, dass alle öffentliche Informationen zum Zeitpunkt ihrer Bekanntgabe im Preis berücksichtigt sind. Aus der Auswertung fundamentaler Daten lassen sich keine Informationsvorsprünge und damit keine Überrenditen erzielen. Die strenge Form der Effizienz bezieht sämtliche auch nicht öffentliche Informationen mit ein.

Weitere Prämissen des CAPM sind Vernachlässingung von Transaktionskosten und Steuern und das Vorhandensein eines risikolosen Zinssatzes, zu dem ohne Einschränkung angelegt und aufgenommen werden kann.

Ausgehend von der Effizienzkurve der Portfolio-Selection-Theorie haben die Anleger die Möglichkeit risikolos zu einem gewissen Zinssatz oder in ein risikobehaftetes Portfolio mit bestimmten Renditeerwartungswert anzulegen. Die Portfolios aus risikofreier und risikobehafteter Anlage liegen auf der Kapitalmarktlinie. Diese Portfolios weisen gegenüber den effizienten Portfolios, die Markowitz beschrieben hat einen höhere Rendite bei gleichem Risiko auf. Dabei wird ein Teil des Kapitals in risikofreier Anlager investiert, der Rest in das sogennate Marktportfolio, ein Portfolio aus risikobehafteten Assets. Die Realisierung von Portfolios oberhalb des Tangentialpunktes kann durch Ausfnahme zusätzliche Kapitals zum risikolosen Zinssatzes und Anlage in das Marktportfolio realisiert werden.

Die Kapitalmarktlinie ist die lineare Beziehung zwischen Rendite und Risiko : Ep = rf + [(Em - rf)/sm]*sp mit Ep als Erwartungswert der Portfoliorendite, rf als risikolosem Zins, Em als Erwartungswert des Marktportfolios, s als Standardabweichung. Der Erwartungswert Ep setzt sich dann aus risikoloser Rendite und Prämie afür die Übernahme von Risiko zusammen. [(Em-rf)/sm] stellt die Höhe der Risikoprämie für jede zusätzliche Einheit übernommenes Risiko dar und wird graphisch durch die Steigung der Kapitalmarktlinie sichtbar.

CAPM kann ausßerdem den Preis eines jeden Wertpapieres bestimmen. Da das Wertpapier Bestandteil des Marktportfolios ist, kann sein Wert als Relation zum Marktportfolio dargestellt werden. Die dafür vorgesehene Gleichung kann als Wertpapierlinie bezeichnet werden : Ei = rr + [(Em-rf)/s2m]*sm (Ei Erwartungswertes des Wertpapieres i und S2m Varianz des Marktportfolios). Unter der Annahme, dass Anleger diversifizierte Porfolios halten, kann das Risiko des Wertpapieres durch den Beta-Faktor beschrieben werden : Ei = rf + (Em-rf)*[beta i]. Für die risikolose Anlage ist der Beta Null, das Marktportfolio hat ein beta von Eins. In der Praxis wird das Marktportfolio durch einen Aktienindex ersetzt.


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